Anasayfa » Cebirin Temel Teoremi ve İlginç Detayları “YouTube Destek Sistemi: Ayrıcalıklar ve Reklamsız Deneyim!” “Kompleks Sayılar ve Polinomlar: Temel Teorem” Cebirin Temel Teoremi: Gerçek Versiyonu! “Cebirin Temel Teoremi ve Uygulamaları” “Köklü Polinomlarda Baş Katsayı ve Köklerin Katlılığı” “Son Dakika: Olay Yeri İncelemesi Başladı!” “Yeni Araştırma: Covid-19 Aşısı Neden Bu Kadar Önemli?” “Son Dakika: Olay Yeri İncelemesi Hızla Devam Ediyor!” “Krizi Fırsata Çeviren Haber Muhabiri: İşte Detaylar!” “Yeni Araştırma: İnsanların Mutluluk Seviyesi Artıyor”
Cebirin Temel Teoremi ve İlginç Detayları “YouTube Destek Sistemi: Ayrıcalıklar ve Reklamsız Deneyim!” “Kompleks Sayılar ve Polinomlar: Temel Teorem” Cebirin Temel Teoremi: Gerçek Versiyonu! “Cebirin Temel Teoremi ve Uygulamaları” “Köklü Polinomlarda Baş Katsayı ve Köklerin Katlılığı” “Son Dakika: Olay Yeri İncelemesi Başladı!” “Yeni Araştırma: Covid-19 Aşısı Neden Bu Kadar Önemli?” “Son Dakika: Olay Yeri İncelemesi Hızla Devam Ediyor!” “Krizi Fırsata Çeviren Haber Muhabiri: İşte Detaylar!” “Yeni Araştırma: İnsanların Mutluluk Seviyesi Artıyor”
Şayet akademide bilgisayar mühendisliği bölümü okuduysanız, “Kalkülüsün temel teoremi” adını mutlaka duymuşsunuzdur. Bu teorem, türev ve integral arasında bir ilişki olduğunu açıklar ve matematikte, temel ve uygulamalı bilimlerde önemli bir araç olarak kabul edilir. Kalkülüsün temel teoremi, matematiğin analiz dalının temelini oluşturduğu için oldukça önemlidir.
Fakat diğer matematik dalları da kendi temel teoremleri üzerine inşa edilmiştir. Bu yazıda, matematik tarihinde ikinci sırada yer alan ve günümüzde en popüler alanlardan biri olan cebirden bahsedeceğiz. Daha spesifik olarak, cebirin temel teoremi üzerinde duracağız.
Cebirin Temel Teoremi: Tarihsel Bir İsimlendirme
İlginç bir detay var: Kalkülüsün temel teoremi kalkülüsün en temel teoremi iken, diğer kalkülüs konuları bu teoreme dayanırken, cebirin temel teoremi, modern cebirin temelini oluşturmamıştır. Bu, tarihsel bir isimlendirme hatasıdır. “Cebirin Temel Teoremi”nin geliştirildiği dönemde, cebir denilen matematik dalı, daha eski bir yapı olan “denklemler teorisi” olarak biliniyordu. Bu teorem, o dönemdeki teori için temel ve önemli olsa da, modern cebir, bu temelin ötesine geçmiştir. Dolayısıyla, kalkülüsün temel teoremi ile cebirin temel teoremi arasında bir karşılaştırma yapmak doğru olmayabilir.
Ayrıca, “cebirin temel teoremi”nin tamamen cebire dayalı bir ispatı bulunmamaktadır. Bu teoremi kanıtlamak için, reel sayıların tamlığının bir türü gereklidir. Bu tamlık, cebirsel olmayan bir kavramdır ve karmaşık sayılara ihtiyaç duyar. Bu durum, cebirin temel teoreminin aslında ne kadar “temel” olduğunu sorgulamamıza neden olabilir.
Yine de, tarihsel önemi ve matematikteki genel yeri açısından bu teoremden bahsetmek önemlidir.
Cebirin Temel Teoremi ve Kompleks Sayılar
Teoreme geçmeden önce, kompleks sayılar hakkında birkaç tanım yapalım.
Tanım: Kompleks Sayılar (ve i sayısı)
Kompleks sayılar kümesi, C:=x+iy ∣ x,y∈R, i=−1\mathbbC:=\Big\\ x,y\in\mathbbR,\ i=\sqrt-1\Big\C:=x+iy∣x,y∈R,i=−1
olarak tanımlanır. Bu küme, “kompleks sayılar kümesi” olarak adlandırılır. İlginç bir şekilde, iii sayısının kökeni de oldukça ilginçtir.
İlk başta, x2+1=0x^2+1=0x2+1=0
şeklindeki denklemin kökü olarak düşünülür. Ancak, sayının tarihsel gelişimi farklıdır. Kübik denklemlerin çözümünde, matematikçiler “-1’in karekökü” ifadesiyle karşılaşmıştır. Bu ifade, gerçek sayılar kümesinde bir karşılığı olmadığı için, -1’in karekökü ayrı bir sayı olarak kabul edilmiş ve çarpma işlemi belirli kurallara göre tanımlanmıştır.
YouTube Destek Sistemi’nde sunulan farklı seviyelerin ayrıntılarını inceleyerek, hangi avantajlara erişebileceğinizi öğrenebilirsiniz.
Eğer tercih ettiğiniz seviye reklamsız deneyim imkanı sunuyorsa, destek vermenin ardından YouTube tarafından paylaşılan bağlantıdaki formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerinin reklamsız deneyime erişmesi, formun doldurulmasından sonra 24-72 saat sürebilir.
Diğer platformlar aracılığıyla destek olan destekçilere ne yazık ki reklamsız deneyim fırsatı sunamıyoruz. Ancak destekleriniz sayesinde sistemlerimizi geliştirmeye devam ediyoruz ve umuyoruz ki bu ayrıcalıkları ilerleyen zamanlarda genişletebileceğiz.
Reklamsız deneyim için, maddi destek verdiğiniz Evrim Ağacı hesabınıza giriş yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları hala görmeye devam edeceksiniz.
Kısmen yanıltıcı olsa da okuyucunun zihninde daha kolay canlandırılabilmesi adına, bu işlemlerin köklü sayılardaki işlemlere benzediği düşünülebilir. Sonrasında ise her seferinde -1’in karekökünü yazmak zor olduğu için, bunun yerine notasyon olarak “ii” kullanmak yaygındır. Ayrıca belirtmek gerekir ki bazı mühendislik alanlarında “ii” yerine (bazen) “jj” kullanılır; yani evrensel kabul görmüş bir notasyon yoktur. Kompleks sayılar hakkında konuşacak çok şey var; ancak şimdi polinom kavramını tanımlayalım ve ardından teoremimize geçelim.
Tanım: Polinom
“C” kompleks sayılar kümesi olmak üzere,
C[x]:=a0+a1x+a2x2+…+anxn ∣ ai∈C, n∈N şeklinde tanımlanan küme, kompleks katsayılı polinomların kümesidir. Bu kümenin her elemanına “kompleks değerli polinom” denir. Biz, kısaca “polinom” diyeceğiz. En yüksek kuvvetli terimin derecesine bu “polinomun derecesi” denir. Şimdi bu kümenin elemanlarına bir göz atalım. Örneğin:
p(x)=ix+(2−i)x2 şeklinde bir polinomdur ve derecesi 2’dir çünkü en yüksek dereceli terimin üssü 2’dir.
q(x)=x+9ix4 şeklinde bir polinom değildir; çünkü x teriminin içinde karekök olduğu bir terim görüyoruz – ki polinom tanımına baktığımızda kuvvetlerin doğal sayı olması gerekmektedir. Oysa karekök, 1/2. kuvvet ile özdeştir; yani bu kuvvet, bir doğal sayı değildir.
Teorem: Cebirin Temel Teoremi
Cebirin temel teoreminin şunu söylediği söylenir:
– Teorem: p(x)∈C[x], n. dereceden bir polinom olmak üzere, p(x)=0 denklemini çözen n farklı kompleks x sayısı vardır.
Bu teoremi anlamaya çalışalım. Örneğin p(x)=x2+4x+3 polinomunu ele alalım. Bu polinomun derecesi 2 olduğundan, cebirin temel teoremine göre 2 tane kökü olmalıdır. Matematikte, bir polinomun kökleri üzerine yapılan bir çalışmada, -3 ve -1 bu polinomun kökleridir. Bu durumu kendiniz de deneyebilirsiniz.
Ancak, dikkatinizi çekecek bir durum var: q(x)=x^2+2x+1 polinomuna baktığımızda, tek kökün 1 olduğunu görürsünüz ve başka kök olmadığını düşünebilirsiniz. Peki, neden? Cebirin temel teoremi yanlış mı? Hayır, yanlış değil elbette. Ancak, bu teorem genellikle yanlış bir şekilde yorumlanmıştır. Doğru versiyonunu açıklıyoruz.
Teorem: Cebirin Temel Teoremi (Gerçek Versiyonu)
Cebirin gerçek versiyonu şöyledir: p(x)∈C[x], n.n. dereceden bir polinom olmak üzere, p(x)=0 denklemini çözen en az 1, en çok n tane x kompleks sayısı vardır.
Şimdi, bu teoremi istediğiniz polinomla test edebilirsiniz. Bu teoremin her zaman doğru olduğunu göreceksiniz.
Matematikten keyif alanlar, bu versiyonun bir öncekinin havasını vermediğini düşünebilirler. Ancak, bu versiyon çok daha iddialıdır; çünkü bu teorem, size bir polinomun her zaman en az 1 kökünü kompleks sayılarda bulabileceğinizi söylemektedir.
Örneğin, p(x)=x^2+1’i deneyin, kökleri i ve -i çıkacaktır. Bu polinomun reel sayılarda kökü olmamasına rağmen kompleks sayılarda kökü vardır. Bu teorem, kompleks sayılar kümesini güçlü yapan teoremlerden biridir. Size her zaman bir kök bulabilme hakkı tanır ve bulabileceğiniz maksimum kök sayısını da belirtir. Cebirin Temel Teoreminin Uygulamaları
Lineer Cebir Üzerine Bir Uygulama
Bu uygulamayı anlayabilmeniz için matris ve determinantları bildiğinizi varsayıyoruz, çünkü burada hepsine girmemiz konuyu çok dağıtırdı.
Elimizde n×n’lik kompleks değerli bir A matrisi olsun. Cebirin temel teoremi, bu matrisin her zaman bir özdeğerinin olduğunu söyler. Çünkü özdeğerler
det(A−λI)=0
polinomunun kökleridir. Bu polinomun katsayıları kompleks sayı olduğundan (matrisimizin satır-sütun elemanlarının kompleks sayı olduğunu varsaydık), cebirin temel teoremine göre bu matrisin en az 1 en çok n tane özdeğeri vardır.
Polinomların Çarpanlara Ayrılması
Cebirin temel teoremi bize bir p(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn polinomunun 1≤m≤n arasında bir kök sayısına sahip olduğunu söyler. Bu kökleri x1, x2,…,xm olarak isimlendirelim. O halde cebirin temel teoremi, bu polinomun alternatif olarak
p(x)=A(x−x1)^k1(x−x2)^k2…(x−xm)^km
şeklinde yazılabileceğini söyler. Matematikte, bir kompleks sayı, ayrıca polinomun baş katsayısı olarak da bilinir. Köklerin “katlılığı” (İng: “multiplicity”), k1, k2, …, km ise adlandırılır. Örneğin x2−2x+1=0 polinomunun iki kökü de 1’dir; yani 1’in katlılığı 2’dir, çünkü iki tane o kökten vardır.
Polinomların bu hali, üzerlerinde işlem yapmayı çok kolay hale getirir, çünkü çarpım durumundaki terimlerle uğraşmak daha rahattır. Bu cebrin temel teoreminin en güçlü uygulamalarından birisidir. Ünlü oyuncu Brad Pitt, dün akşam Los Angeles’ta düzenlenen bir etkinlikte görüntülendi. Pitt, etkinlikte yeni filmi hakkında basın mensuplarına bilgi verirken oldukça neşeli görünüyordu. 57 yaşındaki aktör, son dönemde sık sık sosyal medyada gündeme gelen dedikodularla ilgili sessizliğini korurken, yeni projesiyle ilgili heyecanını paylaştı.
Etkinlikte Pitt’e eşlik eden isimler arasında ünlü yönetmen Quentin Tarantino da vardı. Tarantino, Pitt’in performansını övgüyle karşılarken, ikili arasındaki işbirliğinin devam edeceği de konuşuluyor.
Brad Pitt, yeni filmiyle ilgili detayları paylaşırken, izleyicilerin büyük beğeniyle karşılayacağına inandığını belirtti. Yıldız oyuncunun hayranları ise merakla filmin vizyona girmesini bekliyor. Geçtiğimiz hafta İstanbul’da gerçekleşen bir konferansta, Türkiye’nin önde gelen teknoloji şirketleri bir araya geldi. Konferansta, sektördeki son gelişmeler ve gelecek projeler hakkında bilgi paylaşımında bulunuldu.
Konferans, 15-17 Eylül tarihleri arasında İstanbul Kongre Merkezi’nde düzenlendi. Etkinliğe 500’ün üzerinde katılımcı ve 50’nin üzerinde firma temsilcisi katıldı. Katılımcılar, paneller ve seminerler aracılığıyla sektördeki yenilikleri ve gelecek trendlerini tartışma fırsatı buldu.
Konferansın açılış konuşmasını yapan Teknoloji Bakanı, ülkenin teknoloji alanındaki gelişmelerini ve hedeflerini paylaştı. Bakan, Türkiye’nin teknoloji alanında daha da ilerleyebilmesi için yapılan çalışmalara vurgu yaptı ve sektör temsilcilerine destek sözü verdi.
Etkinlik boyunca, yapay zeka, nesnelerin interneti ve dijitalleşme gibi konularda paneller düzenlendi. Katılımcılar, teknolojinin gelecekteki rolü ve sektördeki dönüşümü konusunda fikir alışverişinde bulundu.
Konferans, son gününde yapılan ödül töreniyle son buldu. En yenilikçi proje, en iyi start-up ve en iyi teknoloji lideri gibi kategorilerde ödüller sahiplerini buldu. Etkinlik, sektördeki işbirliği ve yenilikçiliği teşvik etme amacıyla düzenlenen etkili bir platform oldu. Ünlü şarkıcı Ahmet Kaya’nın vefatının üzerinden 20 yıl geçti. 28 Nisan 2000 tarihinde Paris’te hayatını kaybeden sanatçı, bugün anılıyor. Kaya, Türk müzik tarihine yaptığı katkılar ve özgün sesiyle hala unutulmamış bir isim olarak anılıyor.
Ahmet Kaya, 28 Nisan 2000 tarihinde Paris’in ünlü bir hastanesinde yaşamını yitirdi. Şarkıcı, 43 yaşındayken aramızdan ayrıldı. Türk halk müziği alanında önemli eserler veren Kaya, mücadeleci kişiliği ve duygusal şarkılarıyla geniş kitlelere hitap etmişti.
Sanatçının ölüm yıldönümünde sevenleri, mezarını ziyaret ederek anma törenleri düzenliyor. Ahmet Kaya’nın müziği hala dinlenmeye devam ediyor ve hayranları tarafından büyük bir sevgiyle hatırlanıyor. Ünlü pop yıldızı Selena Gomez dün akşam Türkiye’ye geldi. Gomez, İstanbul’daki konseri için havalimanında yoğun bir kalabalık tarafından karşılandı. Havalimanında kendisini bekleyen hayranlarıyla bol bol fotoğraf çektiren Gomez, konser öncesi dinlenmek üzere oteline geçti.
Selena Gomez’in konseri bu akşam İstanbul’da gerçekleşecek. Ünlü şarkıcının hayranları, konserin büyük bir coşkuyla geçmesini bekliyor. Konser öncesi Selena Gomez’in sosyal medya hesaplarında yaptığı paylaşımlar da hayranlarını heyecanlandırdı.
Gomez’in Türkiye ziyareti kapsamında İstanbul dışında başka şehirleri de ziyaret edeceği ve hayranlarıyla buluşacağı belirtiliyor. Selena Gomez, Türk hayranlarıyla olan ilişkisini sık sık dile getiriyor ve Türkiye’ye olan sevgisini her fırsatta vurguluyor.
Gece geç saatlere kadar süren konserin ardından Selena Gomez’in Türkiye’den ayrılacağı öğrenildi. Ünlü pop yıldızı, Türkiye ziyareti boyunca yaşadığı deneyimlerden oldukça memnun kaldığını belirtti. Geçtiğimiz hafta, İstanbul Kadıköy’de bir apartman dairesinde meydana gelen olayda, 35 yaşındaki A.K. isimli kadın şüpheli bir şekilde hayatını kaybetti. Olay yerine gelen polis ekipleri, kadının boynunda darp izleri olduğunu ve odada çeşitli kan lekeleri bulunduğunu tespit etti.
Polis ekipleri yaptıkları incelemede, apartmanda yaşayan ve kadının eski eşi olan M.K.’yi gözaltına aldı. M.K.’nin ifadesinde, eski eşiyle aralarında yaşanan tartışmanın kavgaya dönüştüğünü ve kadının boğazını sıktığını itiraf ettiği öğrenildi.
Olayla ilgili soruşturma devam ederken, A.K.’nin cesedi otopsi için Adli Tıp Kurumu’na gönderildi. A.K.’nin yakınları ve komşuları ise kadının ayrı yaşadığı eski eşi M.K.’nin sürekli tehditler savurduğunu ve kadını rahatsız ettiğini iddia etti.
Kadıköy Cumhuriyet Savcılığı tarafından başlatılan soruşturma kapsamında, M.K. hakkında cinayet şüphesiyle dava açılacağı belirtildi. A.K.’nin ölüm nedeni ise otopsi sonucu netlik kazanacak.
