Leonardo Fibonacci’nin adını taşıyan Fibonacci dizisi, ortaokul yıllarından itibaren matematik derslerinde sıkça karşımıza çıkan bir dizidir. İlk olarak Hintli matematikçiler tarafından oluşturulmuş olan bu dizi, ilk iki elemanı 1, 1 olarak tanımlanır. Bazı kaynaklarda ise bu dizinin başlangıç koşulları bir sıfırıncı terim eklenerek F0=0, F1=1 olarak da kabul edilebilir. Ancak bu yazıda, ilk iki terimi 1, 1 olarak ele alacağız.
Fibonacci dizisinin sonraki her elemanı, bir önceki iki elemanın toplanmasıyla elde edilir. Dolayısıyla Fibonacci dizisinin ilk 17 elemanı şu şekildedir: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, …
Matematiksel olarak ifade edecek olursak, Fibonacci dizisi, n∈N için Fn, n.n. terimi olmak üzere F1=F2=1 ve ∀n≥2, Fn=Fn−1+Fn−2 olarak tanımlanır.
Fibonacci dizisi oldukça ilginç özelliklere sahip olsa da, bu yazının kapsamı dışında kalan özelliklerine bu yazıda değinilmeyecektir. Ancak, Fibonacci dizisiyle alakalı en çok bilinen kavramlardan biri olan altın oran hakkında bilgi verilecektir.
Altın oran, matematikte en bilinen sabitlerden biridir ve φ sembolü ile gösterilir. Yaklaşık değeri ise φ≃1.618’dir. Altın oran, Fibonacci dizisiyle yakından ilişkilidir. Fibonacci Dizisi ile İlgili Bulunan Eşitlik
Fibonacci dizisinin tanımının eşitlikle verildiği göz önüne alındığında, bu eşitlik şöyle ifade edilir:
Aynı zamanda ayrık matematik dersi alan okuyucunun dikkatini çekeceği üzere, Fibonacci dizisinin rekürsif olmayan bir versiyonu da mevcuttur. Tanım olarak verilen rekürans bağıntısını çözmeye çalışırsak (homojen diferansiyel denklemlerin çözümüne oldukça benzer bir yol izleriz, Fn=xn formunda bir çözüm önerisi getirilir), x^2-x-1=0 denklemine ulaşıyoruz. Bu ikinci dereceden denklemin çözümleri ise x1=ϕ ve x2=-1/ϕ olduğundan, Fn=c1ϕn+c2(-1/ϕ)n şeklinde ifade edilebilir. Sitemizin/uygulamamızın çeşitli bölümlerinde gösterilen Google reklamlarını ve destek çağrılarını içermeyen, %100 reklamsız ve daha temiz bir site deneyimi olan “Reklamsız Deneyim” hizmeti Kreosus tarafından sağlanmaktadır.
Kreosus’un destek modeline göre, her 10₺’lik destek, 1 aylık reklamsız deneyime denk gelmektedir. Bu nedenle, destek süresi destek miktarıyla orantılı olarak belirlenmektedir. Bu destekçilerimiz, desteklerini yapar yapmaz reklamsız deneyime erişebilirler.
Patreon üzerinden destek olan kullanıcılarımız ise, destek süresi boyunca reklamsız deneyime sahip olurlar. Ancak, Patreon hesapları ve Evrim Ağacı hesapları arasında e-posta eşleşmesi gerekmektedir. Patreon destekçilerimizin reklamsız deneyimi, destek başladıktan sonraki 24 saat içinde devreye girmektedir.
YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyime erişimi şu anda otomatik olarak sağlanmamaktadır. Farklı destek seviyelerinin reklamsız deneyim ayrıcalıklarını öğrenmek için YouTube Destek Sistemi’nde bulunan açıklamaları okuyabilirsiniz. Eğer seçtiğiniz seviye reklamsız deneyim sunuyorsa, destek sonrasında belirtilen formu doldurarak reklamsız deneyime erişebilirsiniz. YouTube destekçilerimizin reklamsız deneyimi, form doldurulduktan sonra 24-72 saat içinde devreye girebilir.
Diğer platformlardan destek olan kullanıcılarımıza maalesef reklamsız deneyim ayrıcalığı sunamıyoruz. Ancak, desteklerinizle sistemimizi geliştirmeye devam ediyor ve bu ayrıcalıkları genişletme umudumuzu koruyoruz.
Reklamsız deneyim için, maddi desteğinizle ilişkilendirilmiş Evrim Ağacı hesabınıza giriş yapmanız gerekmektedir. Giriş yapmadığınız takdirde reklamları görmeye devam edeceksiniz. Matematik dünyasının en ilginç konularından biri olan Fibonacci dizisi, matematikçilerin ve geometrinin en büyük keşiflerinden biri olarak kabul edilir. Bu dizinin ilk üç terimi hakkında farklı görüşler olsa da çoğu kaynak, ilk üç terimi sırasıyla 0, 1 ve 1 olarak kabul etmektedir. Fibonacci dizisinin diğer terimleri ise, sözel olarak da ifade edildiği gibi, her bir terim kendinden önceki üç terimin toplamı şeklinde hesaplanır.
Bu rekürans bağıntısını çözmeye çalıştığımızda, karşımıza x^3 – x^2 – x – 1 = 0 şeklinde bir denklem çıkar. Bu denklemi nümerik olarak çözdüğümüzde, yaklaşık olarak x ≈ 1.8393, x ≈ -0.41964 – 0.60629i ve x ≈ -0.41964 + 0.60629i çözümlerine ulaşırız. Reel çözüm, altın oran kadar olmasa da dikkate değer bir sayıdır.
Başlangıç koşulları yerine konduğunda, oldukça karmaşık olsa da N-Bonacci dizisinin de bir sonuca ulaşacağı bilinmektedir. N-Bonacci dizisi, Fibonacci ve Tribonacci dizilerinin genelleştirilmiş hali olarak tanımlanır. İlk N elemanın belirlenmesi için ilk eleman 0, diğer elemanlar ise 1 olarak belirlenir ve sonraki elemanlar, kendinden önceki N elemanın toplamıyla elde edilir. Bu diziler, matematiksel dünyanın en ilginç konularından biri olarak kabul edilir. Matematiksel olarak ifade edilecek olursa, başlangıç koşulları şu şekildedir:
F0=0, F1=F2=…=FN−1=1
Geri kalan elemanlar ise şu eşitlikle belirlenir:
Fn=∑k=n−Nn−1Fk
Dikkatinizi çektiyse, biz bütün pozitif N tam sayıları için bir dizi tanımladık. Peki ya negatif olsaydı? Onun için de benzer bir mantık yürütülerek bir dizi üretilebilir.
Bu dizi için de rekürsif bağıntısını çözmeye çalıştığımızda, şu denkleme ulaşırız:
xN−xN−1−…−x−1=0
Bu denklemi çözmeye kalktığımızda da, cebrin temel teoremine göre N tane çözüm bulmamız gerekir; fakat bazı çözümler kompleks sayılardır. Biz aşağıdaki Python kodu yardımıyla bu denklemin N=1,2,3,4,…,10 için gerçek sayı çözümlerini yazdık. Python kütüphanelerini kullanarak N-Bonacci dizisinin reel köklerini hesaplayan bir program yazıldı. Grafik için renk paleti oluşturuldu ve her bir kök farklı bir renkle çizildi. Grafikte x eksenine n, y eksenine ise kökler değerleri yerleştirildi.
Çözüm üzerinde yapılan gözlem sonucunda, N tek sayı ise reel kök sayısının 1, çift ise 2 olduğu belirlendi. N-Bonacci dizisi, Fibonacci dizisine ve Tribonacci dizisine benzemektedir. Ayrıca F1=1, Fn=Fn−1, n≥2 formülü ile 1,1,1,1,1,…1,1,1,1,1,… şeklindeki 1’ler dizisi olan Bonacci dizisi tanımlanmış oldu. Ünlü pop şarkıcısı X, dün gece Y şehrindeki konserinde hayranlarına unutulmaz bir gece yaşattı. Konser, Z Salonu’nda gerçekleşti ve binlerce hayranı konseri izlemek için bir araya geldi.
X, sahneye çıktığında hayranlarını coşturmayı başardı ve sevilen şarkılarını seslendirdi. Konserde X’e eşlik eden orkestra da performansıyla izleyicilerden tam not aldı. Konserin en heyecan verici anlarından biri, X’in sahneye getirdiği sürpriz konuk Y oldu. Y, X ile düet yaparak izleyicileri büyüledi.
Konser boyunca X, enerjik performansıyla ve sahne şovlarıyla izleyicileri kendine hayran bıraktı. Hayranlar, konser sonunda alkışlarla X’e teşekkür etti. X ise hayranlarına teşekkür ederek sahneden ayrıldı.
X’in Y konseri, hayranları tarafından unutulmaz bir gece olarak değerlendirildi ve sosyal medyada konserle ilgili paylaşımlar hızla yayıldı. X, hayranlarının sevgisiyle bir kez daha konserini unutulmaz kılmayı başardı. Ünlü sanatçı Can Yücel’in doğum günü, Bodrum’da düzenlenen bir etkinlikle kutlandı. Etkinlik, sanatçının doğduğu evin bulunduğu Bodrum’un Gökçebel Mahallesi’nde gerçekleşti. Can Yücel’in doğum günü etkinliğine sanatseverler yoğun ilgi gösterdi.
Etkinlik kapsamında Can Yücel’in hayatı ve eserleri anlatıldı. Sanatçının şiirleri okundu, hayranları onu anmak için bir araya geldi. Ayrıca, Can Yücel’in doğduğu evin önünde bir anı defteri oluşturuldu. Katılımcılar, deftere duygularını ve düşüncelerini yazarak sanatçıya olan sevgilerini dile getirdi.
Etkinlik, Can Yücel’in ölüm yıl dönümü olan 12 Ağustos tarihinde gerçekleşti. Sanatseverler, sanatçının anısını yaşatmak ve eserlerini gelecek nesillere aktarmak amacıyla etkinliğe katıldılar. Can Yücel’in doğum günü etkinliği, katılımcılar arasında duygusal anların yaşanmasına neden oldu. Son günlerde gerçekleşen meydana gelen trafik kazası ile ilgili detaylar ortaya çıkmaya devam ediyor. Olay, geçtiğimiz Salı günü şehir merkezindeki ana cadde üzerinde meydana geldi. Kazada, 3 araç ve 5 kişi karıştı. Kazada yaralanan kişiler hemen ambulanslarla en yakın hastaneye kaldırıldı.
Kazanın ardından yapılan incelemeler sonucunda, kazanın hız ve dikkatsizlik nedeniyle gerçekleştiği belirlendi. Polis ekipleri olay yerinde gerekli incelemelerde bulunurken, kazaya karışan sürücüler ifadeleri alınmak üzere polis merkezine götürüldü.
Kazada yaralanan kişilerin sağlık durumunun iyi olduğu ve hayati tehlikelerinin bulunmadığı belirtildi. Kazanın ardından trafik bir süre kontrollü olarak sağlandı. Polis ekipleri, kazayla ilgili soruşturmanın devam ettiğini ve gereken işlemlerin yapılacağını açıkladı. Ünlü şarkıcı Taylor Swift, dün akşam popüler bir restoranda sevgilisi Joe Alwyn ile romantik bir akşam yemeği yedi. Swift ve Alwyn, Los Angeles’ta bulunan lüks bir restoranda akşam yemeği yediler. Çift, yemeklerini bitirdikten sonra restorandan ayrılırken basın mensupları tarafından görüntülendi.
Taylor Swift’in son albümü “Folklore”, geçen yıl büyük bir başarı elde etmişti. Şu anda yeni bir albüm üzerinde çalıştığı söylentileri de bulunuyor. Swift ve Alwyn’un ilişkisi ise yaklaşık beş yıldır devam ediyor.
Ünlü çift, romantik akşam yemeğinden sonra taksi ile evlerine döndüler. Taylor Swift, geçen haftalarda yapılan bir röportajda Alwyn ile olan ilişkisinden oldukça mutlu olduğunu belirtmişti. Swift’in hayranları, çiftin birlikte olduğu her anı heyecanla takip ediyor.
